Matematica di base
Corso di Laurea in Biotecnologie, Scienze Biologiche e Scienza della Nutrizione — Università di Urbino Carlo Bo
Indice
- Formulario di riferimento
- Algebra: numeri, potenze, proporzioni, percentuali
- Calcolo letterale e scomposizione dei polinomi
- Equazioni, disequazioni e sistemi
- Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmi
- Trigonometria
- Logica: deduzione e negazione
- Batteria di allenamento (16 quesiti)
Convenzione sulle unità: le grandezze trattate sono numeri puri (adimensionali). L'unica grandezza con unità è la misura degli angoli, espressa in radianti (rad) o gradi (°), con $\pi\ \text{rad}=180°$. Le percentuali e le proporzioni operano su grandezze omogenee (stessa unità).
0Formulario di riferimento
Potenze e radici ($a,b\neq0$)
$a^m a^n=a^{m+n}\qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
$(a^m)^n=a^{mn}\qquad (ab)^n=a^n b^n$
$a^0=1\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n}$
$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\qquad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$
Prodotti notevoli
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
Percentuali e proporzioni
$p\%\ \text{di}\ N=N\cdot\dfrac{p}{100}$
$a:b=c:d\iff ad=bc$
Equazione di 2° grado $ax^2+bx+c=0$
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\quad \Delta=b^2-4ac$
$\Delta>0$: due soluzioni · $\Delta=0$: una doppia · $\Delta<0$: nessuna reale
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
Logaritmi ($a>0,\ a\neq1,\ x,y>0$)
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
$\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
$\log_a(x^k)=k\log_a x$
$\log_a1=0,\ \log_a a=1,\ a^{\log_a x}=x$
Trigonometria
$\sin^2x+\cos^2x=1\qquad \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
Notevoli: $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$
Periodo: $\sin,\cos$ di $2\pi$; $\tan$ di $\pi$.
1Algebra: numeri, potenze, proporzioni, percentuali
1.1 Insiemi numerici e ordinamento
Catena di inclusioni: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. I razionali $\mathbb{Q}$ sono i numeri esprimibili come frazione $\frac{p}{q}$ con $q\neq0$; i reali $\mathbb{R}$ aggiungono gli irrazionali (es. $\sqrt2,\ \pi$). Sulla retta reale, dati due numeri, il maggiore è quello più a destra: per i negativi, l'ordine si inverte rispetto al valore assoluto.
Regole chiave
- $a<b \iff b-a>0$ (confronto per differenza)
- Per i negativi: $-3<-1$ anche se $3>1$.
- Potenze di 10: $10^{-2}=0{,}01$, $10^{-1}=0{,}1$ (spostano la virgola)
Ordinare $a=-103,\ b=10^{-2},\ c=0{,}1,\ d=-0{,}01$.
1. Riscrivo in decimale: $a=-103$, $b=0{,}01$, $c=0{,}1$, $d=-0{,}01$.
2. Separo negativi e positivi: negativi $\{-103;\,-0{,}01\}$, con $-103<-0{,}01$; positivi $\{0{,}01;\,0{,}1\}$, con $0{,}01<0{,}1$.
3. Ordine finale: $a<d<b<c$.
1.2 Potenze: proprietà
Le proprietà del formulario si applicano meccanicamente; l'errore nasce quasi sempre da segni ed esponenti negativi, non dai calcoli.
Con $a=5$, calcolare $(a^2)^3$.
1. $(a^2)^3=a^{2\cdot3}=a^6$ (gli esponenti si moltiplicano).
2. Sostituisco: $5^6$. Non serve svilupparlo se la risposta è in forma di potenza.
Con $a=2$, calcolare $a^{-1}$.
$a^{-1}=\dfrac1a=\dfrac12$. L'esponente $-1$ dà il reciproco, non il numero cambiato di segno.
1.3 Proporzioni e percentuali
Una percentuale è un coefficiente moltiplicativo: aumentare del $p\%$ equivale a moltiplicare per $\left(1+\frac{p}{100}\right)$; diminuire del $p\%$ per $\left(1-\frac{p}{100}\right)$. Applicazioni successive si moltiplicano, non si sommano.
Un prezzo di $80$ € aumenta del $25\%$ e poi cala del $20\%$.
1. Dopo l'aumento: $80\cdot1{,}25=100$.
2. Dopo lo sconto: $100\cdot0{,}80=80$. Prezzo finale $=80$ €.
Nota: $+25\%$ e $-20\%$ non danno $+5\%$; il secondo coefficiente agisce su una base diversa.
- $a^{-n}\neq -a^n$: l'esponente negativo dà il reciproco, non il segno opposto.
- $(a^m)^n=a^{mn}$, non $a^{m+n}$: la potenza di potenza moltiplica gli esponenti.
- Ordinamento: tra due negativi vince (è maggiore) quello con valore assoluto minore.
- Percentuali composte: applicare i coefficienti in successione, mai sommare/sottrarre le percentuali.
- $-2^2=-4$ ma $(-2)^2=4$: senza parentesi l'elevamento precede il segno.
2Calcolo letterale e scomposizione dei polinomi
Scomporre in fattori significa scrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore. Le tecniche di base: raccoglimento totale/parziale, prodotti notevoli letti "al contrario", trinomio caratteristico, somma/differenza di cubi.
Regole chiave (lettura inversa dei prodotti notevoli)
- Differenza di quadrati: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
- Trinomio: $x^2+sx+p=(x-x_1)(x-x_2)$ con $x_1+x_2=-s,\ x_1x_2=p$.
- Differenza di cubi: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Scomporre $x^2-5x+6$.
1. Cerco due numeri con somma $5$ e prodotto $6$: sono $2$ e $3$.
2. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Verifica: $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$. ✓
Scomporre $x^3-8$.
1. $8=2^3$, quindi $x^3-8=x^3-2^3$.
2. Applico la formula con $a=x,\ b=2$: $(x-2)(x^2+2x+4)$.
- $(a+b)^2\neq a^2+b^2$: manca il doppio prodotto $2ab$.
- $a^2+b^2$ non si scompone nei reali (solo la differenza di quadrati si scompone).
- Segno nel secondo fattore dei cubi: $a^3-b^3$ dà $a^2\mathbf{+}ab+b^2$ (segni discordi da quelli intuitivi).
- Nel trinomio, controllare sempre col prodotto: distrattori tipici invertono un segno.
3Equazioni, disequazioni e sistemi
3.1 Equazioni di 1° e 2° grado
Un'equazione di 1° grado $ax+b=0$ ($a\neq0$) ha un'unica soluzione $x=-b/a$. Per la 2° grado si usa la formula risolutiva; il segno di $\Delta=b^2-4ac$ decide il numero di soluzioni reali.
Risolvere $x^2+1=0$ in $\mathbb{R}$.
1. $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot1=-4<0$.
2. $\Delta<0$ ⟹ nessuna soluzione reale (un quadrato non può valere $-1$).
3.2 Disequazioni e studio del segno
Per una disequazione fattorizzata (prodotto o quoziente di fattori di 1° grado) si studia il segno di ciascun fattore e si combina con la regola dei segni. Per la 2° grado: se il coefficiente di $x^2$ è positivo, la parabola è positiva "all'esterno" delle radici e negativa "tra" le radici.
Risolvere $x^2-x\le0$.
1. Raccolgo: $x(x-1)\le0$. Radici: $x=0$ e $x=1$.
2. Parabola con concavità verso l'alto: negativa o nulla tra le radici.
3. Soluzione: $0\le x\le1$.
Risolvere $(x-1)(x-2)(x+3)<0$. Radici: $-3,\ 1,\ 2$. Tabella dei segni:
| Intervallo | $x<-3$ | $-3<x<1$ | $1<x<2$ | $x>2$ |
|---|---|---|---|---|
| $x-1$ | − | − | + | + |
| $x-2$ | − | − | − | + |
| $x+3$ | − | + | + | + |
| Prodotto | − | + | − | + |
Il prodotto è $<0$ dove compare il segno "−": $x<-3$ oppure $1<x<2$.
3.3 Sistemi lineari di 1° grado
Risolvere $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$
1. Sommo membro a membro: $2x=6\Rightarrow x=3$.
2. Sostituisco: $3+y=5\Rightarrow y=2$. Soluzione $(x,y)=(3,2)$.
- Moltiplicando/dividendo una disequazione per un numero negativo, il verso si inverte.
- $\Delta<0$ significa "nessuna soluzione reale", non "soluzione $x=0$".
- Nella 2° grado, distinguere "esterno alle radici" ($>0$) da "interno" ($<0$) in base alla concavità.
- Attenzione a $7x=0$ (soluzione $x=0$) contro $7^x=0$ (nessuna soluzione: un'esponenziale non si annulla mai).
- Nel prodotto di fattori, un numero pari di fattori negativi dà segno positivo.
4Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmi
4.1 Dominio
Vincoli fondamentali: il radicando di una radice di indice pari deve essere $\ge0$; l'argomento di un logaritmo deve essere $>0$; il denominatore $\neq0$.
4.2 Esponenziale e logaritmo
L'esponenziale $y=a^x$ ($a>0,\ a\neq1$) ha dominio $\mathbb{R}$, è sempre positiva, passa per $(0,1)$: crescente se $a>1$, decrescente se $0<a<1$. Il logaritmo $y=\log_a x$ è la funzione inversa: dominio $x>0$, passa per $(1,0)$.
Calcolare $a=\log_2 8$ e stabilirne il segno.
1. $\log_2 8$ è l'esponente da dare a $2$ per ottenere $8$: poiché $2^3=8$, $a=3$.
2. $a=3>0$.
Risolvere $2^x<8$.
1. Riscrivo $8=2^3$: $2^x<2^3$.
2. Base $>1$ ⟹ la disuguaglianza si conserva sugli esponenti: $x<3$.
- Base $0<a<1$: nelle equazioni/disequazioni esponenziali e logaritmiche il verso della disuguaglianza si inverte.
- $\log_a1=0$ sempre (non $1$); $\log_a a=1$.
- $\log_a(x+y)\neq\log_a x+\log_a y$: la somma dentro il logaritmo non si spezza.
- Il logaritmo di un numero $\le0$ non esiste; $a^x>0$ sempre, quindi $a^x=0$ è impossibile.
- $\log_a x$ è negativo per $0<x<1$ (con $a>1$), non "inesistente".
5Trigonometria
Sulla circonferenza goniometrica (raggio $1$), a un angolo $x$ si associa il punto $P=(\cos x,\ \sin x)$: $\cos x$ è l'ascissa, $\sin x$ l'ordinata, $\tan x=\sin x/\cos x$ (definita per $\cos x\neq0$). I segni dipendono dal quadrante.
Valori notevoli
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | n.d. |
5.1 Equazioni goniometriche elementari
Con $-1\le k\le1$, l'equazione $\sin x=k$ ha, sull'intero asse reale, due famiglie di soluzioni; analogamente per $\cos x=k$. Per $\tan x=k$ le soluzioni distano $\pi$.
Schema risolutivo
- $\sin x=k\ \Rightarrow\ x=x_0+2k'\pi\ \lor\ x=(\pi-x_0)+2k'\pi$, con $x_0$ arco notevole.
- $\cos x=k\ \Rightarrow\ x=\pm x_0+2k'\pi$.
- $\tan x=k\ \Rightarrow\ x=x_0+k'\pi$. ($k'\in\mathbb{Z}$)
1. Arco notevole con seno $\frac12$: $x_0=\frac{\pi}{6}$.
2. Il seno è positivo anche nel II quadrante: seconda soluzione $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$.
3. Tutte le soluzioni: $x=\dfrac{\pi}{6}+2k'\pi$ oppure $x=\dfrac{5\pi}{6}+2k'\pi$, $k'\in\mathbb{Z}$.
Il coseno (ascissa di $P$) si annulla dove $P$ è sull'asse verticale: $x=\dfrac{\pi}{2}$ e $x=\dfrac{3\pi}{2}$.
5.2 Disequazioni goniometriche elementari
1. Uguaglianza $\sin x=\frac12$ in $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$.
2. Il seno supera $\frac12$ tra questi due archi: $\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{5\pi}{6}$.
- Radianti vs gradi: $\frac{\pi}{6}=30°$. Non confondere gli argomenti.
- Dimenticare la seconda famiglia di soluzioni (es. solo $\frac{\pi}{6}$ e non $\frac{5\pi}{6}$).
- Omettere il periodo $+2k'\pi$ (o $+k'\pi$ per la tangente) quando il dominio è tutto $\mathbb{R}$.
- Prodotto $\sin x\cos x$ nel I quadrante: è $\ge0$ (non $>0$), perché agli estremi $0$ e $\frac{\pi}{2}$ uno dei due fattori si annulla.
- $\tan x$ non è definita dove $\cos x=0$ (in $\frac{\pi}{2}+k'\pi$).
6Logica: deduzione e negazione
Dedurre significa ricavare ciò che è necessariamente vero date le premesse, non ciò che è plausibile. L'implicazione "se $A$ allora $B$" ($A\Rightarrow B$) equivale alla sua contronominale $\lnot B\Rightarrow\lnot A$, ma non alla conversa $B\Rightarrow A$.
Regole chiave
- Modus ponens: da $A\Rightarrow B$ e $A$ segue $B$.
- Modus tollens: da $A\Rightarrow B$ e $\lnot B$ segue $\lnot A$.
- Negazione dei quantificatori: $\lnot(\forall x\,P(x))\equiv\exists x\,\lnot P(x)$; $\ \lnot(\exists x\,P(x))\equiv\forall x\,\lnot P(x)$.
"Tutti i bambini mangiano il gelato. Chi va al mare mangia il gelato. Andrea va al mare." Cosa è necessariamente vero?
1. "Andrea va al mare" + "chi va al mare mangia il gelato" ⟹ Andrea mangia il gelato.
2. Non segue che Andrea sia un bambino (la conversa non vale), né che "chi mangia il gelato va al mare".
Conclusione certa: Andrea mangia il gelato.
Negare "Tutti gli studenti hanno superato il test".
$\lnot(\forall x\,P(x))=\exists x\,\lnot P(x)$: "Almeno uno studente non ha superato il test". Non è "nessuno ha superato" né "tutti non hanno superato".
- Confondere $A\Rightarrow B$ con la conversa $B\Rightarrow A$ o l'inversa $\lnot A\Rightarrow\lnot B$: non sono equivalenti.
- Negare "tutti" con "nessuno": la negazione corretta è "almeno uno non...".
- Negare "esiste" con "esiste... non": la negazione è "per ogni... non".
- Scambiare "necessariamente vero" con "possibile/plausibile": il test chiede solo ciò che segue con certezza.
7Batteria di allenamento
16 quesiti nel formato identico al test reale: 4 opzioni, 1 sola corretta, nessuna penalità. Copertura: algebra e potenze (Q1–3), polinomi (Q4), equazioni/disequazioni/sistemi (Q5–9), esponenziali/logaritmi (Q10–12), trigonometria (Q14–15), logica (Q13, 16). Difficoltà tarata sugli esempi ufficiali VPI.